Logik und Mathematik

Ein wenig logische Mathematik

Wir werden hier nicht etwa die ganze Mathematik, die hinter logischen Ausdrücken steht, betrachten, sondern einige wichtige Fakten, die uns helfen, logische Schaltungen einfacher aufzubauen.

Die folgenden und weitere logische Zusammenhänge sind in Wikipedia beschrieben. Dort werden jedoch andere Symbole verwendet.

Wir betrachten hier nur die Wirkung auf unsere Freunde die NAND-Gatter.

Fachbegriffe

Komplementarität

A AND NOT A = 0
A OR  NOT A = 1

Wenn wir A und NOT A an die Eingänge eines NAND-Gatters anschließen ist das Ergebnis immer 1. Wir können das NAND-Gatter einfach durch eine 1 ersetzen.

Neutralität

A AND 1 = A
A  OR 0 = A

Wenn wir an einen Eingang eines NAND-Gatters eine 1 anschließen, verhält sich das NAND-Gatter nicht anders. Das ist für uns sehr wichtig. Wir können nicht benötigte Eingänge eines NAND-Gatters mit 1 verbinden, also an U+.

Kommutativität

A AND B = B AND A
A  OR B = B  OR A

Die Eingänge eines NAND-Gatters dürfen vertauscht werden.

Extremalität

A AND 0 = 0
A  OR 1 = 1

Wenn wir an einem Eingang eines NAND-Gatters eine 0 haben, ist das Ergebnis immer 1. Wir brauchen das NAND-Gatter nicht, sondern schließen anstelle des NAND-Gatters 1 an, also U+.

Idempotenz

A AND A = A
A  OR A = A

Wir können einen logischen Wert an mehrere Eingänge eines NAND-Gatters anlegen und das NAND-Gatter verhält sich nicht anders.

Involution

NOT( NOT A ) = A

Ein doppeltes NOT hebt sich auf. Zwei hintereinander geschaltete NOT können entfallen.

De Morgan

NOT( A AND B ) = (NOT A)  OR (NOT B)
NOT( A OR  B ) = (AND A) AND (NOT B)

De Morgan wird verwendet, um AND-OR in NAND zu wandeln:

(A AND B) OR (C AND D) = NOT( (  NOT(A AND B) ) AND (  NOT(C AND D) ) )
                       = NAND ( NAND(A  ,  B)    ,    NAND(C  ,  D) )

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